Quand un sujet de concours contient des erreurs : le cas Mines-Ponts 2025 MP Maths 1
Le sujet de Mathématiques 1 du concours Mines-Ponts 2025 — commun aux filières MP et MPI — portait sur les inégalités de Khintchine.
Un thème exigeant. Un sujet de difficulté moyenne selon les correcteurs. Et pourtant : plusieurs erreurs mathématiques significatives dans l’énoncé lui-même.
Mauricio Garay, mathématicien, professeur agrégé et fondateur de l’Institut Fibonacci, les analyse une par une.
Chercher l’erreur, c’est une bonne démarche en mathématiques. Dans l’Antiquité, on attribue à Euclide la rédaction du Pseudaria — un recueil de démonstrations fausses à visée pédagogique, où l’exercice consistait précisément à identifier où le raisonnement déraille.
C’est dans cet esprit que nous abordons ce sujet.
Retrouvez l’analyse complète en vidéo, puis lisez la suite pour aller plus loin.
Le contexte : inégalités de Khintchine et variables de Rademacher
Le sujet s’articule autour des inégalités de Khintchine, qui établissent l’équivalence des normes Lp sur l’espace vectoriel engendré par une suite de variables aléatoires de Rademacher indépendantes.
Une variable de Rademacher, c’est simple : elle prend les valeurs +1 et -1 avec probabilité 1/2 chacune.
Ce type de sujet mobilise simultanément :
- l’inégalité de Hölder
- l’inégalité de Markov
- le calcul d’espérances
- la structure des espaces de dimension finie
C’est précisément là que les imprécisions de l’énoncé posent problème.
Erreur n°1 — Un espace probabilisé fini incompatible avec le sujet
L’énoncé pose dès le départ que Ω est un espace probabilisé fini.
Or pour construire n variables aléatoires de Rademacher indépendantes, il faut que Ω contienne au moins 2ⁿ éléments. Ce n’est nulle part précisé dans l’énoncé.
Ce n’est pas une coquille mineure. C’est une hypothèse structurelle qui conditionne la cohérence de tout le sujet — et elle est absente.
Erreur n°2 — Une famille libre infinie dans un espace de dimension finie
Si Ω est fini, l’espace L⁰(Ω) est un espace vectoriel de dimension finie — sa dimension est égale au cardinal de Ω.
Or la question 17 demande de construire une famille libre infinie dans cet espace.
Une famille libre infinie dans un espace de dimension finie : c’est mathématiquement impossible. C’est une contradiction directe avec les hypothèses posées en début de sujet.
Erreur n°3 — Une inversion de quantificateurs
C’est l’erreur la plus subtile — et la plus classique en mathématiques.
L’énoncé fixe en amont les variables aléatoires x₁, …, xₙ ainsi que l’entier n. Les questions 11 et 15 demandent ensuite de montrer l’existence de constantes β et αₚ.
Problème : une fois n et les variables fixés, ces constantes se déduisent trivialement par un simple quotient d’espérances. Les questions perdent tout intérêt.
Les constantes devaient être fixées avant n et les variables, et ne pas en dépendre. Sans cette précision, tout le sujet se ramène à une banale équivalence de normes.
Comme le note Mauricio Garay : « Si on fixe n, tout le sujet se ramène à l’équivalence des normes et devient trivial. »
Erreur n°4 — La confusion variable nulle / presque sûrement nulle
L’énoncé indique explicitement qu’on « confondra systématiquement variable aléatoire nulle et variable aléatoire presque sûrement nulle ».
Dans un espace probabilisé fini, ces deux notions ne coïncident pas nécessairement. Confondre les deux introduit une ambiguïté dans les démonstrations qui s’appuient sur cette distinction.
Comment corriger ce sujet ?
Trois ajustements suffiraient à rendre l’énoncé cohérent :
1. Supposer que Ω n’est pas fini, et admettre l’existence d’un espace probabilisé sur lequel on peut construire les variables de Rademacher. C’est une hypothèse standard, généralement admise dans les sujets de concours.
2. Ne pas fixer les variables aléatoires ni l’entier n à la question 8 — ou préciser explicitement que les constantes des questions 11 et 15 sont indépendantes de n.
3. Clarifier la question 16, qui semble identique à la question 15 à la condition de positivité près, sans apporter de substance supplémentaire visible.
Ce que ce sujet révèle sur les probabilités en prépa
Les probabilités sont une matière relativement récente dans l’enseignement des CPGE scientifiques.
La rigueur formelle qu’exige cette discipline — espaces mesurables, tribus, quantificateurs — est souvent sous-estimée. Y compris, parfois, par les concepteurs de sujets.
Pour un élève de prépa MP, le message de cette vidéo est clair : la précision des hypothèses n’est pas un détail formel. C’est le fondement de tout raisonnement mathématique valide.
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